中学几何研究共17讲本科视频教程西南大 - 数学教育

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∷中学几何研究共17讲本科视频教程西南大∷

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中学几何研究本科视频教程共17讲

课程一:
第一章　欧氏几何公理体系
第一节　公理化方法与《几何原本》简介
一、公理化方法的内涵与意义
1. 什么是公理化方法(1)
原始概念
公理是
2. 公理系统的三个基本问题(1)
要证明无矛盾性
(2)独立性(公理数量最少问题)
3)完备性(公理个数最大化问题)
数学公理化方法在科学方法上有示范作用
欧几里得是柏拉图的学生
2. 《几何原本》简介
第II卷
第IV卷16个命题
第VI卷中应用前一卷建立的一般比例论于相似图形，给出了33个命题。
最后三卷
《几何原本》内容是相当丰富的
第二，从科学方法论的角度来看
方法奠定了良好的开端
4. 《几何原本》的不足之处(1)
第二，《几何原本》中作为演绎

课程二:
第二节　完备化的希尔伯特公理体系
希尔伯特
希尔伯特的数学工作涉及的领域非常广泛而且成就巨大
在希尔伯特的公理系统中
希尔伯特的公理系统
希尔伯特的公理系统
1．结合公理(1)
公理I3 在一条直线上至少有两个点A、B；至少存在三个点不在一条直线上。
公理I4 对于任意三个不在一条直线上的点A、B 、C，存在平面a通过它们。
公理I7 如果两个平面有一个公共点，则它们至少还有另一个公共点
2．顺序公理(1)
公理II4 （帕施Pasch公理）
3．合同公理(1)
公理III2 如果两线段都合同于第三线段，则这两个线段也合同。
公理III4 如果在平面a上已知
4．连续公理
5．平行公理
第五公设与非欧几何
第五公设及其等价命题
非欧几何的产生
大家普遍认为，这条公理所说明的事实通过直线外一点能且仅能作一条平行直线）
首先开创间接法证明的是17世纪意大利数学家萨开里
罗巴切夫斯基
例如，在这种几何里，三角形的内角和小于180度
非欧几何的另一位创始人是匈牙利的青年数学家约翰.波耶
三种几何的异同(1)
（2）平行公设不同
（3）三种几何的应用范围不同
平面与地球相交的大圆上由北京到上海的一段劣弧
中学几何公理系统
二、中学几何的原始概念
三、中学几何学的公理系统
公理4 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
公理8
公理12 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理15（祖暅原理）

课程三: 第二章　证题法第一节　面积法 1.面积法的基本思想 2.基本公式和定理（1）（4 ）公式（9）共边比例定理共角比例定理证题术1 例1 例1 证明例2 例2 证明例3 例3证明例题分析

课程四: 第二章　证题法第一节　面积法例题分析例4 例4证明例5 例5 证明例题分析例6证明例7 例7 证明例7证明续例7 例7 总结

课程五: 第二章　证题法第二节　复数法 1.复数法的基本思想 2.复数的表示和常用结论（2）（3）（4）（5）证明（6）证明（7）（8）（8）的证明（9）第二节　复数法 3.例题分析例8 证明例 9 例9

课程六: 第二章　证题法例10 证明例11 例11证明例12 例12分析与证明例13 例13证明例13的证明续例14 例14的证明 2.复数的表示和常用结论（1） 2.复数的表示和常用结论（4）

课程七: 第二章　证题法第三节　合同变换法第三节　合同变换法总论 2. 旋转 2.1 旋转的定义 2.2 旋转的性质 2.3　例题分析例15 里5解例16 例16证明 2.2 旋转的性质 3. 平移 3.1 平移的定义 3.2 平移的性质

课程八: 第二章　证题法第三节　合同变换法 3. 平移 3.2 平移的性质 3.3　例题分析例17 例17分析：例17证明：例18 例18 证明 4. 对称变换 4.1 对称变换的定义 4.2 对称变换的性质例19 例19 证明例20 例 20解

课程九: 第三章　几何中的著名命题命题目录命题1　梅涅劳斯定理命题1证明命题1证明命题2证明　笛沙格Desargues定理及其逆定理笛沙格定理的证明逆定理的证明命题目录　西姆松(Simson)定理证明

课程十:
命题目录
命题5　塞瓦Ceva定理
命题5　塞瓦Ceva定理的证明必要性
命题5　塞瓦Ceva定理的证明充分性
命题6　托勒密定理
命题6　托勒密定理的证明必要性
命题6　托勒密定理的证明充分性
托勒密定理的证明
命题7　蝴蝶定理
命题7　蝴蝶定理的证明
蝴蝶定理的证明
命题7　蝴蝶定理的证明
命题8　九点圆定理
九点圆定理的证明证法1
命题8　九点圆定理的证明
命题8　九点圆定理的证明证法2

课程十一:
命题8　九点圆定理
命题目录
命题9　四心共线定理
命题9　四心共线定理的证明
命题9　四心共线定理的证明
命题9　四心共线定理的证明（3）
命题9　四心共线定理的证明（4）
命题10　斯特瓦尔特定理
命题10　斯特瓦尔特定理的证明（1）
命题10　斯特瓦尔特定理的证明（2）
斯特瓦尔特定理的注
命题10　斯特瓦尔特定理的证明（2）
命题11　
命题11的证明（1）　
命题11的证明（2）　
命题11的证明（3）　
命题11的证明（3）　
例1　
解
例2
证明
例3
例4

课程十二:
第四章　几何轨迹
第一节　几何轨迹的基本知识
轨迹的定义
轨迹命题的两面证明：不漏不滥
轨迹命题的三种类型
基本轨迹命题
例1　设一点到矩形的一双对顶的距离之和等于到另一双对顶的距离之和，则其轨迹为矩形的两条对称轴。
证明、
PA
（2）
例2
证明
（2）
结论
第二节　各种轨迹类型命题举例

课程十三:
第二节　各种轨迹类型命题举例
第Ⅱ类轨迹命题
例3
探求
完备性
（2）纯粹性
例4　设到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能缩为一点），称为定和幂圆。
探求
证明
（2）纯粹性
例5　到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线，称为等差幂线。
探求
由
证明
第二节　各种轨迹类型命题举例
例3
例4　设到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能缩为一点），称为定和幂圆。
第二节　各种轨迹类型命题举例
第Ⅲ类轨迹命题
第Ⅲ类轨迹命题

课程十四:
第Ⅲ类轨迹命题
第Ⅲ类轨迹命题
第二节　各种轨迹类型命题举例
例7　设BC是定半圆的直径，从半圆周上动点A作，在半径OA上截OP＝AD，当点A描画半圆周时，点P的轨迹为何？
探求
Ｍ与一般点ｐ的关系　
证明　
例6　从已知半圆直径AB延长线上任取一点C，作切线CT及的平分线，从圆心作这平分线的垂线，求垂足M的轨迹。
探求
无穷远
证明
设ｏｍ
（2）
注
我们说明的轨迹命题的两面证明
例8
分析
设p为
1）
3）

课程十五:
第五章　尺规作图
第一节　尺规作图的基本知识
尺规作图的含义和意义
作图公法
作图成法（1）
作图成法（2）
作图成法（3）
作图成法（4）
作图成法（5）
作图成法（6）
作图成法（7）
作图成法（8）
作图成法（9）
作图成法（10）
解作图题的步骤
第二节　尺规作图法举例
一、交轨法
例1
分析
讨论
例2
分析
作法
讨论

课程十六: 第五章　尺规作图第二节　尺规作图法举例二、三角形奠基法例3 分析讨论例4 分析作法讨论（2）三、合同变换法例5 分析例8 分析证明

课程十七:
第五章　尺规作图
第二节　尺规作图法举例
四、代数分析法
例9
分析
作法
讨论
例10
分析
第三节　尺规作图可能性的判断
一、尺规作图可能性判断准则（1）
定理
二、几个古典几何作图题
(2)三等分任意角问题
（3）化圆为方问题
（4）作圆内接正多边形
如果
（2）定理
例11
∴圆
注
例12　五角星的作法
图
注：圆内接正十边形、五边形、半径的关系
注：圆内接正十边形、五边形、半径的关系
注：圆内接正十边形、五边形、半径的关系

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